Курс лекций и решение задач по теме "Теоретическая механика"

Две основные задачи динамики точки

Дифференциальные уравнения движения в проекциях на неподвижные декартовы оси

Рассмотрим криволинейное движение некоторой точки М массы m под действием силы F в неподвижной системе координат (рис. 3).

Её движение описывается основным уравнением динамики  = m =  = , следовательно,

 = m(5)

Полученное равенство (5) называется дифференциальным уравнением движения свободной материальной точки в векторной форме. Спроектируем обе его части на неподвижные оси, обозначив проекции силы оси X, Y, Z, радиуса- вектора x,у, получим три скалярных уравнения:

Рис. 8 X = m;Y = m; Z = m (6)

Система (6) - дифференциальные уравнения движения точки в скалярной форме. Если точка движется плоскости, то для неё составляют два дифференциальных уравнения: X = m; Y = m, а если ее движение прямолинейно , то одно X = m.

Для несвободной материальной точки основное уравнение пишется так: m =  +  и дифференциальные уравнения примут вид: m =  +  (в векторной форме) и m = X + Nx; m = Y + Ny; m = Z + Nz (в скалярной форме).

Если на точку одновременно действуют несколько сил, то в равенстве (5) под  следует понимать их равнодействующую, а под X, Y, Z - ее проекции на оси OX, OY, OZ.

Дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на естественные оси

В некоторых случаях удобнее равенство  = m проектировать на естественные оси (рис. 9). Обозначим проекции силы, действующей на точку tn, b, а ускорения t, n, b. Тогда в проекциях на оси равенство  = m выглядит так: Ft = ma; Fn = man; Fb = mab.

Но проекции ускорения на естественные оси: Рис. 9 ; ;.

Тогда

;;.

Полученная система (7) и есть дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки в проекциях на естественные оси координат. Если точка несвободная, то эти примут вид:

; ; .

Если же на точку одновременно действуют несколько сил, то в системе (7) под F>t; Fn; Fb следует понимать сумму проекций всех этих сил на естественные оси или проекции их равнодействующей.

Уравнения системы (7) называют еще уравнениями в форме Эйлера, так как они были впервые получены Л. Эйлером его труде "Механика или наука о движении, изложенная аналитически" (1736 г.). Уравнения же (6) получены им позднее (1765 г.) "Теория движения твердых тел".

В динамике все задачи делятся на первую и вторую основные задачи. Первая формулируется так: по заданному закону движения точки определить силу, действующую нее, вторая (обратная) - известным силам, действующим точку, найти ее закон движения.

Первая задача возникает, например, при изучении сил, вызывающих движение планет. Кинематические законы их движения были даны Кеплером, что позволило Ньютону открыть и обосновать закон всемирного тяготения. Вторая встречается, определении траектории снаряда или закона маятника.

Обе задачи решаются при помощи дифференциальных уравнений движения материальной точки. И если первая решается сравнительно просто, то решение второй в окончательном виде удается получить далеко не всегда. Поэтому основное содержание динамики сводится к изучению методов решения основной задачи.

Рассмотрим решение обеих задач динамики точки.

Первая основная задача.

Зная движение точки, определить саду, действующую на точку. Пусть задано координатным способом:

x = f1(t); y = f2(t); z = f3(t).

Силу можно отыскать по её проекциям на неподвижные оси X, Y, Z, которые равны:

; ; .

Найдём , ,  и подставим их в эти формулы. Зная проекции вектора,  на оси, величину его и направление находит по формулам:

; ; ; .

Пример. Материальная точка массы m = 1 г движется согласно уравнениям: x=3t2; y=4t2 см. Определить силу, действующую на точку.

Имеем 1-ю задачу динамики. Чтобы ее решить, запишем для данной точки уравнения: ; . Найдем  и , =6, =8:

;

; ;

; .

Примечание. Если движение точки задано естественным способом, то для нее следует составить уравнения в форме Эйлера и силу найти по проекциям на естественные оси:

; ; Fb=0.

Так как закон движения точки S=f(t) задан и траектория известна, то скорость  найти нетрудно,  тоже найдем,   - известно, задача полностью решена.


На главную