Курс лекций и решение задач по теме "Теоретическая механика"

Колебательное движение точки

Раздел состоит из двух тем и рассчитан на 4 ч самостоятельной работы студентов в классе "Аккорд". После его изучения студент должен:

1) знать: а) под действием каких сил точка совершает колебательное движение; б) виды колебательных движений точки; в) закон колебательного движения для каждого вида колебания; г) определения периода, частоты, фазы, амплитуды, декремента, резонанса колебаний; д) графики e) примеры колебательных движений;

2) уметь: а) составлять дифференциальные уравнений колебательных движений, записывать их решения; б) определять условия, при которых началось колебание (начальные условия); в) находить по начальным условиям C1, С2, А, >a;

3) помнить: а) формулы, выражающие закон каждого вида колебания; б) формулы для отыскания амплитуды, частоты, фазы, периода, декремента колебаний; в) порядок решения задач.

Среди всевозможных механических движений часто встречаются повторяющиеся движения. Раскачивание стволов деревьев ветром, качка судов на волнах, чередование приливов и отливов. Во всех случаях одна та же особенность; многократное повторение одного того цикла движений. Такие механические движения называются колебательными движениями. С периодически повторяющимися движениями встречаемся в астрономии при изучении движения Земли других небесных тел, с колебаниями земной коры - сейсмологии, колебания играют огромную роль таких областях техники как радио, электричество. Звуковые, тепловые, световые, электромагнитные явления являются различными видами колебаний.

Амплитудой колебания называется наибольшее отклонение точки от равновесного положения. Амплитуда гармонического постоянна. 

При подвешивании груза Р к концу резиновой ленты последняя получает статическое удлинение >lст = 5 см. Груз подвешен н концу недеформированной ленты и отпущен без начальной скорости. Определить максимальное удлинение ленты.

Затухающие и вынужденные колебания точки Как уже видели, под действием восстанавливающей силы точка совершает гармоническое колебание, амплитуда которого постоянна. Однако на опыте с грузом, подвешенным к пружине, можно проследить, что амплитуда на самом деле не остается постоянной. Совершив некоторое число колебаний, груз остановится. Объясняется это явление действием сил сопротивления.

Сопротивление среды увеличивает период свободных колебаний.

Вынужденные колебания - с неограниченно возрастающей амплитудой >, т.е. при p = k при t®¥ имеем явление неограниченного возрастания амплитуды колебания, которое называется резонансом.

Основные теоремы динамики для материальной точки

Точка движется по прямой неравномерно (ускоренно). Как меняется ее количество движения?

Теорема об изменении момента количества движения точки Рассмотрим движение материальной точки М массы m под действием силы  в неподвижной системе отсчета OXYZ

Ограничимся лишь рассмотрением механических колебаний, встречающихся в строительном деле и машиностроении, хотя колебания (вибрации) широко распространены самых различных областях техники. В например, коленчатых валов двигателей, турбин, строительстве - стен фундаментов зданий, машин, мостов, подъемных кранов. транспортных машинах наблюдаются частей автомобилей, крыльев самолетов.

Все части, входящие и состав того иди иного сооружения, подвергнутые деформации способны вибрировать.

При некоторых условиях вибрации могут достигать опасных величин и привести к разрушению конструкции. Поэтому изучение вибрации, с целью предотвращения их вредного влияния, является одной из важных задач современной техники.

Часто колебания используются как полезный процесс (радиотехника). Тогда приходится заботиться об их усилении.

В большинстве случаев имеем дело с колебания системы точек. Однако основными чертами колебательного движения удобнее ознакомиться на примере одной материальной точки. Простейшим и важнейшим типом являются гармоническое колебательное движение или просто колебание.

Тема 4. Гармоническое свободное колебание точки

Пусть некоторая точка М массы m движется прямолинейно под действием восстанавливавшей силы >(рис. 20), которая обладает следующими свойствами:

1) линия действие ее все время проходит через один и тот же неподвижный центр О;

2) направлена сила >  все время к центру 0; Рис. 20

3) сила F пропорциональна расстоянию от течки M до неподвижного центра О. c - коэффициент пропорциональности;

Итак, зная силу, действующую на точку М, требуется определить движение этой точки.

Имеем вторую задачу динамики. Чтобы решить ее, нужно составить дифференциальное уравнение движения точки М. Выберем прямую, по которой движемся точка М за ось x, положительное направление оси x - в сторону М, т.е. возрастания координат, начало отсчета поместим неподвижный центр 0. Точку изобразим произвольном положении, покажем силу, действующую на точку. Дифференциальное имеет вид >;  (знак минус в правой части уравнения будет всегда, так как сила  в любом случае направлена к точке 0 и ее проекция на ось ox=-F). Разделим обе части уравнения  на m; имеем ж , получим дифференциальное уравнение второго порядка с пocтoянными коэффициентами, однородное

. (1)

Составим для него характеристическое уравнение>; , корни его мнимые, решение дифференциального уравнения (1) имеет вид

. (2)

Это и есть уравнение движения данной точки М. Выясним, каким будет это движение М под действием восстанавливающей силы F. Когда точка находится в центре 0, то этот момент (F=cx=0) никакие на нее не действуют, следовательно, 0 равновесное положение материальной Как только последняя выходит из центра сразу же начинает действовать сила F, стремящаяся вернуть точку равновесия - центр 0. Поэтому она называется силой.

Представим себе, что точка М выведена из положения равновесия и представлена действии силы >. Каким будет движение точки М? Предположим, что последняя получила начальное отклонение вправо от центра 0. Под действием силы F, направленной влево (к центру 0), точка пойдет влево. Достигнув центра 0, она не остановится, так как за время движения приобрела некоторую скорость, а будет продолжать движение влево за центр 0. Но теперь на нее начнет действовать снова сила , направленная уже вправо. Под действием этой силы движение точки М замедляется и в некоторый момент скорость обратится в нуль. Под действием силы  точка пойдет вправо, опять пройдет равновесное положение 0, и будет двигаться вправо до тех пор, пока сила  направленная влево, снова не обратит скорость точки в нуль и не заставит точку сменить направление ее движения. После этого весь процесс повторяется сначала.

Таким образом, под действием восстанавливающей силы > точка М совершает периодически повторяющиеся движения, т.е. движения колебательного характера. Колебания происходят согласно найденному уравнению (2) и называются свободными гармоническими. Рассмотрим уравнение (2), т.е. уравнение движения точки М

.

С1 и С2 - постоянные интегрирования, находятся по начальным условиям. Найдем их.

Пусть при t=0; x=x0; V=V0,

тогда (при t=0) x=x0= С1; С1= x0,

; при t=0 V0=С2k;

.

Уравнение движения данной точки при данных начальных условиях примет вид >.

Равенству (2) можно придать более компактный вид, если положить С1=asin>a; С2=acosa, где a и a - новые постоянные. При этом получим x=a(sinacoskt+cosasinkt)=asin(kt+a);

x=asin(kt+>a). (3)

Новые постоянные а и >a определяются по начальным условиям:

t=0; x=x0; V=V0;

t=0 > ;

; (4)

 (5)

В формуле (3) коэффициент при синусе a - амплитуда колебания.


На главную