Курс лекций и решение задач по теме "Теоретическая механика"

Тема 2. Теорема сложения ускорений

Абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме двух ускорений: переносного и относительного, если переносное движение является поступательным.

Доказательство. Рассмотрим сложное движение точки М такое, при котором подвижная система движется только поступательно. Будем определять положение в подвижной системе вектором >; в неподвижной системе — вектором ; а начало подвижной системы О1 определим относительно неподвижных осей XYZ вектором  (рис. 15). Получим векторный треугольник, из которого видно, что

> (2)

или >. (3)

Из кинематики точки известно, что ускорение (вектор) определяется второй производной от радиуса-вектора по времени, поэтому продифференцируем полученное равенство (3) дважды учитывая, подвижная система движется только поступательно, т.е. векторы > не изменяются, получим

; (4)

. (5)

Рассмотрим полученное равенство (5):

,

так как > определяет положение точки в неподвижной системе;

,

так как подвижная система движется поступательно и ускорение точки О1 есть системы O1X1Y1Z1. И, наконец,

есть разложение вектора >, по подвижным осям, т.е. относительное ускорение.

Таким образом,

,

т.е. теорема доказана.

Вектор > определится по правилу параллелограмма (рис. 16):

или по проекциям на оси XYZ:

>; (8)

где

Направление найдем по направляющим косинусам:

>

Доказанная теорема справедлива только для поступательного переносного движения. Если переносное движение непоступательное, находить абсолютное ускорение по теореме сложения ускорений нельзя. В этом случае пользуются теоремой 2 — Кориолиса, доказанной им в 1836 г.

Теорема. При непоступательном переносном движении абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме трех ускорений: переносного, относительного и кориолисова.

Доказательство. Докажем теорему для частного случая, когда переносное движение есть вращение вокруг неподвижной оси.

 Итак, рассмотрим движение точки М относительно такой системы O1X1Y1Z1, которая вращается относительно некоторой оси O1P c угловой скоростью . Положение точки в подвижной системе определим вектором , в неподвижной — , и начало подвижной системы О1 относительно неподвижной определим вектором  (рис. 17). Получим векторный треугольник ОМО1, из которого , но

, поэтому , где х1; у1; z1 — координаты точки М в подвижной системе; i1; j1; k1 — орты этой системы.

Чтобы получить вектор >, продифференцируем дважды по времени последнее равенство:

.

Так как точка движется в подвижной системе, то ее координаты х1; у1; z1 есть функции времени, т. е. переменные величины, а орты >=1 при вращении системы X1;Y1;Z1 вокруг оси О1Р изменяют свое направление и, следовательно, тоже являются переменными величинами, поэтому берем производные сначала от координат х1; у1; z1, потом от орт .

Еще раз дифференцируем:

Здесь >,

— радиус-вектор точки M в неподвижной системе;

— разложение вектора по подвижным осям.

Далее

.

Эта группа представляет ускорение точки М в движении ее вместе с подвижной системой. Чтобы этом убедиться, проделаем следующее: мысленно остановим относительное точки, тогда точка будет участвовать только одном системой координат и переносное (при остановленном относительном движении) одновременно абсолютным ускорением, т. е. >, при неизменных х1; у1; z1.

Но

Выражения во второй и третьей скобках при этом обратятся в нули, так как > теперь постоянны. Точка в неподвижной системе не движется.

Осталось еще одно выражение, которое мы не определили:

.

Это будет по размерности вектор ускорения, он и называется ускорением Кориолиса. Итак,

>,  (9)

т.е. теорема доказана.

Вектор > в этом случае лучше определить по его проекциям на неподвижные оси XYZ :

>, (10)

где

Направление > найдем по направляющим косинусам.

Рассмотрим выражение (10), которое определило вектор >:

.

Здесь > — проекции скорости  на подвижные оси;

 — производные от единичных векторов  по времени.

Найдем эти производные. Для этого вспомним основную формулу кинематики — Эйлера, согласно которой линейную скорость точки вращающегося тела можно представить в виде векторного произведения угловой скорости вращения и радиуса-вектора данной точки, проведенного из какого-либо центра, лежащего на оси вращения, т.е. >.

Если векторы > рассмотреть как радиусы-векторы точек, лежащих на их концах, то соответственно производные от них по времени будут (как известно из кинематики точки) скоростями этих точек. Но в данный момент времени подвижная система и орты вместе с ней участвуют во вращательном движении вокруг оси O1P c угловой скоростью , и, следовательно, скорости точек, лежащих на концах , будут линейными скоростями, которые по формуле Эйлера можно представить так:

; ; .

Тогда 

>

где > — разложение вектора относительной скорости по подвижным осям;

>. (11)


[an error occurred while processing this directive]