Курс лекций и решение задач по теме "Теоретическая механика"

Вычисления моментов инерции однородных тел

Пример 1. Определить момент инерции однородного прямолинейного стержня относительно оси, перпендикулярной стержню, проходящей через его конец. Пусть имеем однородный прямолинейный стержень AB = l масса его М, масса единицы длины его  (рис.5), вычислим момент инерции стержня относительно оси Az. Разбиваем стержень на элементарные участки. Возьмем один такой участок длины , масса его . По определению момент инерции

но . Тогда

((3)

Пример 2. Найти момент инерции однородного круглого диска относительно его центра. Пусть имеем однородный круглый диск радиусом R, массой М, масса единицы площади > (рис. 6). Разобьем диск концентрическими окружностями на элементарные кольца, возьмем одно такое кольцо массой . По определению

, но  и .

(4)

По формуле (4)считается также момент инерции однородного сплошного круглого цилиндра относительно его оси.

Пример 3. Найти момент инерции однородного тонкого кольца относительно его центра.

Пусть имеем однородное кольцо R, массой М (рис. 7). Момент инерции его относительно центра О по определению момента центра:

, но  и .

Получаем:

I0 = MR2.

(5)

По формуле (5) можно вычислить момент инерции однородного полого цилиндра относительно его оси.


Используя формулы (3), (4) и теорему о моментах инерции относительно параллельных осей, можно вычислить, например, момент инерции стержня относительно центра тяжести IC или момент инерции диска относительно оси, проходящей через точку А перпендикулярно диску.

Определим IC (рис. 8).

,откуда

;

.

(6)

Найдем IAZ1 (рис. 9).

;

.

(7)

Задание: Выполнить геометрический синтез планетарной зубчатой передачи с одновенцовым сателлитом.

Исходные данные: тип передачи 4, общее передаточное отношение передачи , модуль всех зубчатых колес m = 3,5 мм.

Необходимо определить числа зубьев и диаметры делительных окружностей всех зубчатых колес передачи, назначить количество сателлитов.

Решение

1. Проектируем передачу из нулевых зубчатых колес. Для того, чтобы выполнялось условие отсутствия подрезания или заклинивания зубьев (4.1), принимаем число зубьев = 17.

2. Из кинематического условия (4.5) для планетарной зубчатой передачи типа 4 на рис.4.1 находим число зубьев :

.

Округляем полученное число зубьев до целого числа так, чтобы разность (  была четным числом. Принимаем . При этом получаем  - четное число.

  3. Из условия соосности (4.6) находим число зубьев   сателлита:

  

 4. Принимаем количество сателлитов K=3. Проверяем выполнение условия соседства сателлитов (4.7):

   >  > ; 0,866 > 0,605. 

 5. Проверяем выполнение условия сборки (4.8) планетарной зубчатой передачи:

 .

Так как полученное значение  не является целым числом, то условие сборки не выполняется. Поэтому принимаем количество сателлитов K=2. Вновь проверяем выполнение условия сборки передачи:

 

 Условие сборки выполнено. Окончательно принято K=2.

 6. Вычисляем диаметры делительных окружностей всех зубчатых колес передачи:

 

 

 


На главную