Курс лекций и решение задач по теме "Теоретическая механика"

Пример. Из орудия весом Р2 вылетает снаряд в горизонтальном направлении Р1 со скоростью >. Найти скорость после вылета (скорость отката)  
Если рассмотреть орудие и снаряд как одну систему, то давление пороховых газов  при выстреле — внутренняя сила, а силы   и  — внешние. Тогда  и . Наблюдается сохранение проекции количества движения системы на ось х. В начальный момент система неподвижна:  и . В момент выстрела ; , но .

.

 — скорость отката орудия.

Примечание. Практическое значение теоремы в том, что при соответствующем выборе механической системы исключаются из рассмотрения все неизвестные внутренние силы. Теорема применяется теории удара, динамики точки переменной массы, динамике сложных сред (газ, жидкость).

Выражение количества движения системы через скорость центра масс

Если число точек системы велико, то определить вектор > по формуле  трудно, а иногда невозможно. В этом случае количество движения системы вычисляется через скорость центра масс.

Что такое центр масс системы, уже знаем. Положение этой точки определяется координатами:

  

Умножим обе части этих равенств на массу системы М, получим:

  

Продифференцируем обе части этих равенств по времени:

  

(7)

Но xC, yC, zC — координаты точки C центра масс, а > — проекции скорости точки С на оси координат, т.е. . Координаты точки системы —   а  — проекции скорости . Соответственно система (7) определяет проекции векторов количеств движения точки С  в левой части и вектора  в правой части. Но если равны проекции векторов, то равны и сами векторы: ;

(8)

Вывод. Количество движения системы равно произведению массы всей системы на скорость центра масс.

С помощью последней формулы очень легко можно вычислить количество движения системы, скорость центра масс которой известна.

Пример. Вычислить количество движения колеса весом Р, центр масс которого имеет скорость > (рис. 12). Величину  определили по формуле (8). Направлен  так же, как и .

Теорема о движении центра масс

Центр движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы, и к приложены все внешние силы, действующие на систему.

Доказательство. Возьмем систему, состоящую и n материальных точек. Пусть точка >, скорость которой , ускорение  является центром масс данной системы. Выразим количество движения этой системы через скорость центра масс: . Обе части этого равенства продифференцируем по времени:, но  (из кинематики точки); а  (из теоремы об изменении количества движения системы).

Тогда >,

(9)

что и требовалось доказать. Спроектируем это равенство на оси Oxyz, обозначив проекции > — , а где  — центр масс.

.

(10)

Называются эти уравнения дифференциальными уравнениями движения центра масс. С их помощью можно решать первую и вторую задачи динамики системы. Из выражений (9) (10) видно, что внутренние силы на движение масс не влияют.

Частные случаи

Если >, то ;  — центр масс такой системы движется равномерно и прямолинейно.

Если > и , то .

Отсюда видим, что центр масс остается неподвижным. Этот результат выражает закон сохранения положения центра системы.

Если >, то ; ; .

Если же в начальный момент центр масс неподвижен, то >, тогда  — закон сохранения координаты центра масс.


На главную