Курс лекций и решение задач по теме "Теоретическая механика"

ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ

СИСТЕМЫ

Кинетическая энергия системы T равна сумме кинетических энергий всех точек системы, т. е.  (1)

Рассмотрим кинетическую энергию твердого тела.

Поступательное движение тела

При поступательном движении тела скорости всех точек его в любой момент времени одинаковы. Общую скорость обозначим через центра масс >. Тогда, разбив тело на отдельные материальные точки, вычислим его энергию по формуле

.

Итак, >,  (2)

где М — масса тела.

Вывод. Кинетическая энергия тела в поступательном движении равна половине произведения массы на квадрат скорости его центра масс.

Пример. На шкив радиусом R, весом Р намотана веревка, к концу которой подвешен груз Q. В начальный момент система покоилась. Найти угловую скорость шкива в тот момент, когда опустился на высоту h. Массу считать равномерно распределенной по ободу. Трением пренебречь.

Цилиндр массой М может перемещаться по неподвижной плоскости. Чему равна его кинетическая энергия?

Вращательное движение тела

Вычислим кинетическую энергию тела, вращающегося вокруг неподвижной оси с угловой скоростью ω (рис. 38). Для этого разобьем тело на отдельные материальные точки. Энергия каждой точки равна >, а для всего тела как для системы ,

где Vj — скорость любой точки Aj тела, определяется по формуле . Тогда

;

где >— момент инерции тела относительно оси вращения.

>. (3)

Вывод. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела равна половине произведения момента инерции относительно оси вращения на квадрат его угловой скорости.

Плоскопараллельное движение тела

Из кинематики известно, что скорости всех точек плоской фигуры S (рис. 39) относительно мгновенного центра скоростей P распределяется так, как будто эта фигура вращается вокруг оси, перпендикулярной плоскости и проходящей через мгновенный центр P. Следовательно, энергию этой можно вычислить, вращающегося тела:

> (4)

Но положение центра скоростей с течением времени меняется относительно движущейся фигуры, следовательно, и момент инерции I, поэтому полученная формула неудобна для практики. Преобразуем ее, используя теорему о моментах параллельных осей. Заменим >. Имеем

,

где >(по свойствам плоского движения).

>. (5)

Вывод. Кинетическая энергия тела при плоскопараллельном движении его равна сумме двух энергий: энергии этого в поступательном со скоростью центра масс и во вращательном вокруг оси, проходящей через центр масс.

Рассмотрим теорему об изменении кинетической энергии системы.

Пусть имеем систему, состоящую из n материальных точек. Возьмем этой системы некоторую точку Aj и запишем для нее теорему об изменении кинетической энергии точки в дифференциальной форме:

,

где dAе — элементарная работа внешних сил; dAi внутренних сил.

Запишем подобные равенства для каждой из п точек системы и все их просуммируем . Имеем >.

Внесем знак суммы под дифференциала: >.

Здесь >,

окончательно >.  (6)

Полученное равенство выражает теорему об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме: дифференциал равен сумме элементарных работ всех внешних и внутренних сил, действующих на систему.

Проинтегрируем равенство (6), получим

>.  (7)

Та же теорема в интегральной форме: изменение кинетической энергии системы при конечном перемещении ее из одного положения другое равно сумме работ на этом всех внешних и внутренних сил, действующих систему.

В случае неизменяемой системы теорема примет вид

>.  (8)

Здесь >. (9)

определение геометрических параметров нулевой цилиндрической прямозубой эвольвентной передачи 

Основные понятия и определения

 Зубчатые передачи – механизмы, в которых вращательное движение между звеньями (зубчатыми колесами) передается с помощью последовательно зацепляющихся зубьев (рис.5.1).

 Цилиндрическими называются зубчатые передачи с параллельным расположением осей сопряженных зубчатых колес.

 Прямозубыми называются зубчатые передачи, имеющие прямые линии в качестве образующих боковых поверхностей зубьев колес.

 

Рис. 5.1. Прямозубая цилиндрическая зубчатая передача с внешним зацеплением зубьев: а) внешний вид; б) эскиз

 

 Профиль зуба цилиндрического прямозубого колеса – это линия пересечения боковой поверхности зуба с плоскостью, перпендикулярной оси колеса.

 Эвольвентная зубчатая передача – это передача, у которой профили зубьев колес очерчены эвольвентами окружностей.

 Эвольвента окружности - плоская кривая, описываемая точкой прямой линии, перекатываемой по окружности без скольжения.

 Основная окружность – окружность зубчатого колеса, по которой перекатывается прямая при образовании эвольвенты профиля зуба колеса. Построение эвольвенты показано на рис.5.2.

 

 Рис. 5.2. Схема построения эвольвенты

  Нулевое зубчатое колесо – зубчатое колесо, при нарезании зубьев которого отсутствовало (было равно нулю) смещение зуборезного инструмента по отношению к заготовке колеса.

  Делительная окружность зубчатого колеса – окружность, которая в процессе нарезания зубьев колеса перекатывается без скольжения по делительной прямой или делительной окружности зуборезного инструмента.

 Начальная окружность зубчатого колеса – окружность, которая при работе зубчатой передачи перекатывается без скольжения по начальной окружности сопряженного зубчатого колеса. Точка касания начальных окружностей называется полюсом зацепления П (рис. 5.3).

 У нулевых зубчатых колес делительная и начальная окружности совпадают.

 Зубья ограничены по высоте окружностями выступов (вершин) и окружностями впадин.

 Полная (общая) высота зуба h – радиальное расстояние между окружностями выступов и впадин зубчатого колеса.


На главную