Начертательная геометрия Теоретическая механика Физика Курс лекций по истории искусства

Основы квантовой механики

Орбитальный момент

 Приведем пример. Пусть . Тогда получаем три гармонических полинома :

.

 Сферические функции  реализуют неприводимое -мерное представление группы вращений , образуя базис в пространстве функций, заданных на сфере единичного радиуса.

 Покажем теперь, что целочисленность  следует из более слабого требования, чем однозначность волновой функции. В общей теории момента фундаментальную роль играют соотношения (см. выше)

.

Отсюда следует

В рассматриваемом случае орбитального момента получаем

.

Покажем, что это соотношение не выполняется, если  - четное целое число. Для этого удобно использовать декартовы координаты, в которых имеем:

Заметим, что для произвольной функции  имеем

. Далее сделаем комплексную замену переменных:

.

В результате приходим к соотношению

.

Оно должно выполняться тождественно, что невозможно при целом . Следовательно,  - целое число. Более подробное рассмотрение показывает, что для полуцелых () операторы момента  оказываются неэрмитовыми, т.е. не могут быть наблюдаемыми.

 

На главную