Общие собственные векторы операторов
и 
- диагональных матриц - имеют вид
,
где 
- произвольные
функции из 
. Из разложения произвольного
вектора состояния в 
,
,
следует, что вероятность обнаружить при измерении в состоянии
проекцию спина 
.
В пространстве 
волновая функция преобразуется по закону
, или 
.
Сохранение скалярного произведения,
,
приводит к унитарности матриц преобразования:
.
Следовательно,
Поэтому произвольную унитарную матрицу можно представить в виде
,
где 
- унитарная
матрица с 
, 
- произвольное действительное число.
Учитывая, что нормированный вектор состояния определен с
точностью до фазового преобразования 
, мы всегда можем ограничиться преобразованиями 
с единичным определителем (унимодулярными
преобразованиями):
.