Решение задач контрольной работы по математике

Дифференциалы высших порядков ФНП

Пусть в области , , задана произвольная ФНП , , имеющая непрерывные частные производные первого порядка. Полный дифференциал функции

в общем случае является функцией переменных  и
приращений , , , . Если предположить, что 1) функция  имеет непрерывные частные производные
второго порядка и 2) для любого  значения  остаются произвольными, но постоянными, то можно рассматривать полный дифференциал от , т.е.  – дифференциал второго порядка исходной функции  в точке  соответственно , , , .

Пусть ,

Тогда . Поэтому

;  – произвольные.

Дифференцируемость ФНП

Теорема о существовании всех частных производных ФНП

Для функции  вычислить  и  и сравнить эти значения, если ; ; .

Теорема о достаточных условиях дифференцируемости ФНП в точке

Для  вычислить  и , где  и , ,  – произвольные постоянные числа.

Формула Тейлора для ФНП записывается в дифференциальной форме по аналогии с формулой Тейлора для функции одной переменной

Формула Тейлора позволяет вычислять приближенно значение функции с любой наперед заданной точностью. Погрешность может быть установлена с помощью оценки остаточного члена.

Дифференцирование сложной ФНП Сложная ФНП, как и сложная функция одного переменного, есть суперпозиция двух или нескольких функций. Например, сложная функция , определенная на множестве , понимается как суперпозиция "внешней" функции  и "внутренних" функций , , определенных на множестве . При этом множество значений

ПРИМЕР 1. Для функции . Найти ,  при произвольных  и .

Решение. Вычисляем последовательно частные производные  и , а затем , ; . Записываем

,

здесь можно также обозначить , .

Заметим, что если  записать в операторной форме

,

то для дифференциала второго порядка  можно использовать запись

или

,

свернув оператор формально "в квадрат суммы ".

Можно убедиться, что при соответствующих предположениях полный дифференциал третьего порядка  в операторной форме запишется 

или 

.

Например, для  (см. ранее
ПРИМЕР 1) имеем ; ; ; , т.е.

;

здесь ,   – произвольно заданные постоянные.

По аналогии можно записать

  –

полный дифференциал ""-го порядка для функции .

Для функции ,  имеем соответственно

;

;

аналогично

.


На главную