Решение задач контрольной работы по математике

Вычисление интеграла ФНП.

Для подынтегральной функции  определенный интеграл с переменным верхним пределом определяет
первообразную на .

В частности, теорема задает достаточное условие существования неопределенного интеграла . Элементы теории вероятностей События, происходящие в окружающем нас мире, можно разделить на три вида: достоверные, невозможные и случайные. Достоверным относительно комплекса условий S называется событие, которое обязательно произойдет при осуществлении этого комплекса условий. Например, если гладкий желоб с лежащим внутри него тяжелым шариком наклонить, то шарик обязательно покатится по желобу в сторону уклона. Невозможным называется событие, которое заведомо не произойдет при осуществлении комлекса условий S. Например, из герметически изолированного сосуда вода не может вылиться. Случайным относительно комплекса условий S называется событие, которое при осуществлении указанного комплекса условий может либо произойти, либо не произойти. Например, если вы уронили фарфоровую чашку на пол, то она может как разбиться, так и остаться неповрежденной.

Теорема (формула Ньютона – Лейбница)

Если функция  непрерывна на , то справедлива
формула

,

где  – любая первообразная для .

Доказательство. Из свойств неопределенного интеграла известно, что две произвольные первообразные для одной и той же функции различаются на постоянную, т.е. первообразные  и  
функции   связаны соотношением , поэтому

,

,  – постоянная.

Тогда при  имеем , т.е. ;
при   имеем  или  – приращение первообразной  на  – обычно обозначают

,

здесь  – какая-либо первообразная подынтегральной функции.

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Выше неоднократно отмечалось, что в случае, когда коэффициенты линейного уравнения постоянны (pi(x) = ai = const, i = 1, 2, …, n), удаётся найти фундаментальную систему решений однородного уравнения. Рассмотрим этот случай.

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Пусть коэффициенты уравнения

  (34)

постоянны на рассматриваемом интервале (a, b) (ai = const при i = 1, 2, …, n). Для нахождения фундаментальной системы решений (ФСР) уравнения (34) предположим, что решения этого уравнения имеют вид y = ekx. Тогда . Подставляя эти выражения для производных в (34) и сокращая его на ekx, получим алгебраическое уравнение n-ой степени

  kn + a1kn -1 + a2 kn-2 + a3 kn-3 + …. + an = 0 . (35)

 Уравнение (35) называется характеристическим уравнением уравнения (34). Это уравнение имеет n (возможно, комплексных корней) k1, k2, …, kn, некоторые из которых могут быть равны друг другу. Каждому из этих корней соответствует функция из ФСР. Правило, по которому формируется ФСР, заключается в следующем:

 Если kj - простой действительный корень характеристического уравнения (т.е. корень кратности r = 1), то ему соответствует функция  в ФСР;

 если kj - действительный корень характеристического уравнения кратности r > 1 (т.е. kj = kj+1 = kj+2 = …= kj+r-1), то этому множеству корней соответствует набор функций  в ФСР;

 если  - простой комплексный корень характеристического уравнения (здесь  - мнимая единица), то корнем характеристического уравнения будет и сопряженное с kj число .  Паре корней kj, kj+1 соответствуют функции ,  в ФСР;

 если  - комплексный корень характеристического уравнения кратности r > 1, то корнем характеристического уравнения той же кратности будет и число . Паре корней kj, kj+1, каждый из которых имеет кратность r > 1, соответствуют набор функций , , , , , , …., ,  в ФСР.

 Обоснование этого правила дадим для случая n = 2. Рассмотрим уравнение второго порядка

.  (36) 


На главную