Математика. Выполнение контрольной работы

Дифференцирование и интегрирование степенных рядов

Рассмотрим степенной ряд , имеющий радиус сходимости R > 0:

Функция является непрерывной функцией при |x| < R. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно дифференцировать почленно. При этом производная степенного ряда выражается формулой Степенной ряд можно также почленно интегрировать на отрезке, который расположен внутри интервала сходимости. Следовательно, если − R < b < x < R, то выполняется равенство

Найти разложение в степенной ряд для рациональной дроби .

Найти представление в виде степенного ряда функции .

Разложить в степенной ряд экспоненциальную функцию e x.

Найти производную функции

Производная суммы равна сумме производных

Производная произведения функций

Производная частного функций

Найти производную функции

Найти производную функции

Определение производной

 

Если ряд интегрируется на отрезке [0; x], то справедлива формула:

Пример Показать, что

Решение. Рассмотрим сначала следующий степенной ряд: Данный ряд является геометрической прогрессией со знаменателем x. Поэтому, он сходится при |x| < 1. Его сумма равна . Подставляя − x вместо x, получаем Таким образом,

На главную