Математика. Выполнение контрольной работы

Физические приложения тройных интегралов

Пример Найти центроид однородного полушара радиусом R.

Решение. Введем систему координат таким образом, чтобы полушар был расположен при z ≥ 0 и имел центр в начале координат (рисунок 1).
Рис.1
Рис.2
В данной системе координат будем искать координаты центроида (центра тяжести) тела. Очевидно, что в силу симметрии Вычислим координату центра тяжести по формуле Поскольку полушар однородный, то полагаем ρ(x,y,z) = ρ0. Тогда В знаменателе через V обозначен объем полушара, равный Остается вычислить тройной интеграл . Для этого перейдем к сферическим координатам. При этом радиальную координату будем обозначать через r − чтобы не путать с плотностью ρ. Получаем: Таким образом, координата центра тяжести равна

На главную