Вынужденные колебания

Колебательная система, выведенная из положения равновесия и предоставленная самой себе, будет осуществлять свободные затухающие колебания, постепенно теряя начальной запас механической энергии на работу против сил среды. Скорость затухания свободных колебаний реальных систем зависит от параметров системы и величины сил сопротивления. Для поддержания незатухающих колебаний реальной системы необходимо периодически пополнять потери механической энергии системы на работу сил сопротивления. Такое пополнение можно осуществлять за счет работы внешней силы, которая периодически действует на колебательную систему и изменяется со временем по гармоническому закону: , где  - амплитуда внешней силы;  - ее циклическая частота.

Незатухающие колебания системы, которые происходят в результате действия внешней гармонической силы, называют вынужденными колебаниями, а силу - вынуждающей силой. Вынужденные колебания происходят в высотных домах, телевизионных башнях, длинных мостах под действием переменных аэродинамических и других сил; корпусах и фундаментах машин при вращении неуравновешенных роторов; двигателях автомобилей в результате возвратно-поступательного движения поршней; мембранах громкоговорителей под действием переменных электромагнитных полей и т.д.

 Под действием вынуждающей силы выполняется работа. Если направление движения колебательной системы совпадает с направлением действия вынуждающей силы, то будет выполняться положительная работа. И наоборот, работа будет отрицательной, если направление действия силы и движение системы противоположны. В первом случае амплитуда колебаний будет увеличиваться, во втором - уменьшается, то есть колебания будут тормозиться. Если вынуждающая сила действует в течение длительного времени, то устанавливаются колебания с постоянной амплитудой и частотой вынуждающей силы, то есть система осуществляет гармонические колебания.

Если в колебательной системе действует упругая или квазиупругая сила, а сила сопротивления пропорциональна скорости колебательного движения, то основное уравнение динамики вынужденных колебаний имеет вид дифференциального уравнения

. (11.107)

Разделим это уравнение на массу  колебательной системы и введем такие обозначения

; ; . (11.108)

Тогда основное уравнение вынужденных колебаний приобретает вид

, (11.109)

где  - циклическая частота собственных колебаний системы;  - коэффициент затухания колебаний;  - амплитуда вынуждающей силы, отнесенная к единице массы.

Приведенное выше уравнение - это неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка. В теории дифференциальных уравнений доказано, что общее решение такого уравнения состоит из суммы решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

Весом тела называют силу, с которой тело вследствие тяготения к Земле действует на опору (или подвес), удерживающую тело от свободного падения. Состояние тела, при котором оно движется только под действием силы тяжести, называется состоянием невесомости.
На главную