Продифференцировав по времени уравнение для закона сложения скоростей, получим:

 (12.12)

(учтено, что ). Таким образом, ускорения частицы относительно систем  и   одинаковы.

Сила , действующая на частицу в системе , совпадает с силой , действующей на частицу в системе :

. (12.13)

Последнее уравнение следует из того факта, что сила зависит от расстояний между данной частицей и взаимодействующими с ней частицами (и, возможно, от относительных скоростей частиц). Упомянутые расстояния (и относительные скорости) полагаются в ньютоновской механике одинаковыми во всех инерциальных системах отсчета. Масса также имеет одинаковое числовое значение во всех системах отсчета. Из сказанного ясно, что если выполняется соотношение , то будет выполняться и равенство . Системы  и  были выбраны совершенно произвольно. Поэтому полученный результат означает, что законы механики одинаково формулируются для всех инерциальных систем отсчета. Это утверждение называется принципом относительности Галилея.

Величины, которые имеют одно и тоже числовое значение во всех системах отсчета, называются инвариантными. Примерами инвариантных величин являются: масса, электрический заряд и т.д. Инвариантными по отношению к преобразованию координат и времени при переходе от одной инерциальной системы к другой называются также уравнения, вид которых не меняется при таком переходе (хотя величины, входящие в указанные уравнения, могут и изменяться). Теперь можно привести эквивалентную формулировку принципа относительности Галилея: уравнения механики инвариантны по отношению к преобразованиям Галилея.

Рассмотрим инварианты преобразований Галилея. 1. Инвариантность длины. Длина стержня в системе  равна

, (12.14)

где , ,  и , ,  - координаты начала и конца стержня. В системе   стержень движется поступательно и все его точки имеют скорость . Пусть засечки положения концов движущегося стержня сделаны в системе  в момент времени  и характеризуются координатами: , ,  и , , . Тогда в силу преобразований Галилея:

 

; ; ;

.  (12.15)

Отсюда получаем:

; ; . (12.16)

Следовательно:

 (12.17)

2. Инвариантность интервала времени. Рассмотрим интервалы времени в системах  и :

; .  (12.18)

Используя преобразования Галилея, можно записать:  и . В итоге получаем:

. (12.19)

3. Инвариантность ускорения. Указанная инвариантность  получена ранее при рассмотрении следствия из закона сложения скоростей.

Силы тяготения являются консервативными, а поле тяготения является потенциальным. Системы отсчета, движущиеся относительно инерциальной системы с ускорением, называются неинерциальными. Законы динамики можно применять и для неинерциальных систем отсчета, если кроме сил, обусловленных воздействием тел друг на друга, ввести в рассмотрение силы инерции.
На главную