Основные операции над векторами

Перемещение характеризуется как числовым значением, так и направлением. Величины, которые характеризуются числовым значением, направлением и складывающиеся по правилу параллелограмма, называются векторами. Числовое значение вектора называется его модулем. Модуль вектора – скаляр, причем всегда положительный. Скалярная величина характеризуется одним лишь числовым значением. Модуль вектора  обозначается. В основу векторного исчисления положено понятие свободного вектора, т.е. вектора, который может быть отложен из любой токи пространства. Кроме свободных рассматриваются скользящие векторы, начало которых может быть перемещено в любую точку прямой, вдоль которой направлении вектор. Векторы, приложенные к определенной точке, называются связанными.

Правила сложения и вычитания векторов иллюстрируются на Рис. В2. Справедливы следующие соотношения:

 и . (В.1)

Кроме того:

 (В.2)

. (В.3)

Приращением вектора  называется величина

, (В.4)

где  - начальное и конечное значения вектора. Произведением вектора  на скаляр  называется вектор , модуль которого равен

, (В.5)

 а направление совпадает с направлением вектора  если скаляр положителен  и противоположно направлению , если скаляр отрицателен . Из правила умножения вектора вытекает, что любой вектор  можно представить в виде

, (В.6)

где  - вектор с модулем, равным единице, направленный также, как и вектор . Вектор  называется единичным вектором или ортом вектора . Орты можно сопоставлять не только векторам, но и направлениям в пространстве, например, координатным осям:   - орт оси  и т.д.

Смесь азота и гелия находится при температуре  под давлением . Масса азота составляет долю  от общей массы смеси. Найти концентрацию молекул каждого из газов.

Азот, занимающий при давлении  объем , расширяется вдвое. Найти конечное давление и работу, совершаемую газом при следующих процессах: а) изобарном; б) изотермическом; в) адиабатном. Изобразить процессы в координатах .


На главную