Закон сохранения момента импульса

 Закон сохранения момента импульса связан с изотропией пространства. Изотропия пространства означает, что если замкнутую систему тел повернуть в пространстве на любой угол, поставив при этом все тела в ней в те же условия, в каких они находились до поворота, то это не отразится на ходе всех последующих явлений.

Рассмотрим бесконечно малый поворот системы и потребуем, чтобы ее функция Лагранжа при этом не изменилась. Введем вектор  бесконечно малого поворота системы, абсолютная величина которого равна углу  поворота, а направление совпадает с осью поворота (по правилу правого винта). Найдем приращение радиус-вектора , проведенного из общего начала координат (расположенного на оси вращения) к какой-либо из материальных точек поворачиваемой системы (см. Рис. 4.1). Линейное перемещение конца радиус-вектора:

. (4.39)

Направление же вектора  перпендикулярно к плоскости, проходящей через   и . Поэтому ясно, что

. (4.40)

При повороте системы меняется направление не только радиус-векторов, но и скоростей всех частиц, причем все векторы преобразуются по одинаковому закону. Поэтому, приращение скорости относительно неподвижной системы координат:

. (4.41)

Подставим эти формулы в условие неизменяемости функции Лагранжа при повороте:

 (4.42)

Далее, заменяем производные

 (4.43)

 и

. (4.44)

 Кроме того:

. (4.45)

 Или, произведя циклическую перестановку множителей и вынося   за знак суммы:

. (4.46)

Ввиду произвольности  следует:

 (4.47)

или

 (4.48)

- закон сохранения момента импульса замкнутой механической системы.

 Таким образом, всякая замкнутая система имеет всего 7 аддитивных интегралов движения: энергию и по три компоненты векторов импульса и момента импульса. Закон сохранения момента импульса выполняется и во внешнем поле: сохраняется проекция момента импульса на такую ось, относительно которой данное внешнее поле симметрично. При этом, конечно, момент должен быть определен относительно какой-либо точки (начала координат), лежащей на этой оси.

Найти амплитуду  и начальную фазу  гармонического колебания, полученного от сложения одинаково направленных колебаний, задаваемых уравнениями  и . Написать уравнение результирующего колебания. Изобразить векторную диаграмму сложения амплитуд.
На главную