Кинематические характеристики гармонических колебаний

 Важнейшими среди механических колебательных движений являются гармонические колебания. Гармоническими называются колебания, в процессе которых смещение  изменяется по закону синуса или косинуса:

, (11.4)

где  - амплитуда, которая равняется абсолютному значению наибольшего смещения; - циклическая частота колебаний,  - фаза колебаний, однозначно определяющая значение колебательной величины в момент времени ;  - начальная фаза.

Выбором начальной фазы  закон гармонических колебаний всегда можно свести к функции синуса от аргумента . Характерным признаком гармонического колебания является то, что величины  не изменяются в процессе колебания. Изучение гармонических колебаний является важным по двум причинам: во-первых, колебания, которые встречаются в природе и технике, по своему характеру близки к гармоническим; во-вторых, важные для практических приложений периодические процессы, которые не являются гармоническими, но повторяются через равные промежутки времени, можно изображать как наложение нескольких гармонических колебаний.

Приведенное выше выражение для  является решением дифференциального уравнения движения системы, которая осуществляет гармонические колебания. Уравнение движения можно получить, продифференцировав дважды по времени функцию :

 (11.5)

или

. (11.6)

Это выражение является уравнением гармонических колебаний.

Приведенное уравнение является линейным, оно содержит функцию   и ее вторую производную в первой степени. Амплитуду  и начальную фазу  невозможно определить из дифференциального уравнения. Для этого при решении уравнения используют начальные условия, которые характеризуют конкретный колебательный процесс. Гармоническое колебание можно изобразить графически в виде проекции материальной точки, которая равномерно вращается по кругу, радиус которого равняется амплитуде колебания (см. Рис. 11.1).

Найдем скорость и ускорение материальной точки, которая осуществляет гармонические колебания. Скорость колебательного движения определяется как производная по времени от смещения:

 или , (11.7)

где  - амплитуда скорости.

Ускорение колебательного движения равняется производный по времени от скорости:

, (11.8)

где  - амплитуда ускорения.

Первый закон Ньютона: всякая материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит ее изменить это состояние. Те системы, по отношению к которым выполняется первый закон Ньютона, называются инерциальными системами отсчета.
На главную