Из предыдущих выражений видно, что скорость и ускорение материальной точки осуществляют гармонические колебания с той же частотой , что и колебание смещения. Однако между колебаниями смещения и колебаниями скорости и ускорения существует разница, или сдвиг фаз. Колебания скорости опережают колебание смещения по фазе на , а колебания ускорения опережают колебание смещения по фазе на . На Рис. 11.2 сопоставлены графики для смещения, скорости и ускорения.

Изменение ускорения материальной точки в процессе гармонических колебаний свидетельствует о том, что на нее действует переменная сила. Второй закон Ньютона дает возможность в общем виде написать уравнение связи между силой и ускорением материальной точки массой  в процессе гармонических колебаний: , (11.9)

где - коэффициент пропорциональности между силой и смещением точки. Отсюда вытекает, что на материальную точку действует сила, прямо пропорциональная смещению и всегда направленная к положению равновесия. Частота и фаза колебаний силы  совпадают с частотой и фазой ускорения. Силы, которые по своей природе не являются упругими, но изменяются по закону , называются квазиупругими.

Колебания, которые происходят в изолированной системе, то есть под действием одних только внутренних сил, называют свободными. Если внутренние силы консервативны,  то механическая энергия колебательной системы остается постоянной (не расходуется на работу против сил сопротивления). Такие свободные колебания называют собственными. Собственные колебания происходят бесконечно долго.

Пружинный маятник

Рассмотрим собственные колебания системы, которая состоит из небольшого тела массой , подвешенного на вертикальной пружине, второй конец которой жестко закреплен. Будем считать, что сила тяжести тела значительно меньше  упругой силы, действующей на тело со стороны пружины. Массой пружины и силами сопротивления пренебрегаем. Начало системы координат расположим в точке равновесия подвешенного к пружине тела и ось  направим вертикально вниз. Колебательную систему, которая удовлетворяет этим условиям, называют пружинным маятником. При смещении тела от положения равновесия на величину  на него будет действовать упругая сила, которая определяется законом Гука

, (11.10)

где - коэффициент жесткости пружины. Согласно второму закону Ньютона получим уравнение движения пружинного маятника:

 (11.11)

или

, (11.12)

где .

Это уравнение движения аналогично дифференциальному уравнению гармонических колебаний. Поскольку в системе действует только одна внутренняя сила упругости, которая является консервативной силой, то пружинный маятник осуществляет собственные гармонические колебания. Частота  таких колебаний зависит только от свойств самой системы и называется собственной частотой системы, а период собственных колебаний равняется

. (11.13)

Период собственных колебаний не зависит от амплитуды. Это свойство колебательных систем называют изохронностью колебаний. Она характерна для идеальных линейных систем. Колебания реальных (нелинейных систем) при малых амплитудах с определенным приближением можно считать изохронными.

Первый закон Ньютона: всякая материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит ее изменить это состояние. Те системы, по отношению к которым выполняется первый закон Ньютона, называются инерциальными системами отсчета.
На главную