Пример. В качестве конкретной реализации гармонического осциллятора можно привести пружинный маятник. После начального толчка подвешенное на пружине тело осуществляет гармонические колебания с некоторой амплитудой , а соответствующая фазовая траектория имеет форму эллипса. При других начальных условиях колебания происходят с другими амплитудами, но имеют тот же характер. Следовательно, фазовый портрет пружинного маятника имеет вид семейства концентрических эллипсов. В фазовый портрет входит также положение равновесия осциллятора, то есть точка . Из геометрических рассуждений вытекает, что это единственная особенная точка фазовой плоскости. Такая точка может лежать только на оси , потому что в противном случае состояние покоя осциллятора невозможно.

§ 11.7. Математический маятник

Одним из самых простых примеров гармонического колебания есть колебательное движение математического маятника. Математическим маятником называют материальную точку, подвешенную на невесомой и нерастяжимой нити, которая колеблется в вертикальной плоскости под действием силы тяжести. Когда система находится в покое, то сила тяжести уравновешивается силой натяжения нити . Если шарик отклонить на некоторый угол , то равнодействующая  силы натяжения и силы тяжести  пытается повернуть шарик в положение равновесия. Горизонтальная составляющая силы тяжести (возвращающая сила) равна

. (11.37)

Поскольку зависимость такой силы от угла  нелинейна, то колебания маятника не будут гармоническими. Для малых углов  можно записать, что

 (11.38)

(где  - горизонтальное смещение маятника от положения равновесия), и выражение для возвращающей силы будет иметь вид

, (11.39)

где  - длина маятника. В этом случае сила  пропорциональна углу , потому колебания маятника можно считать гармоническими. Уравнение движения математического маятника имеет вид

. (11.40)

 Знак «минус» указывает на то, что возвращающая сила направлена к положению равновесия, а смещение отчисляется от положения равновесия, потому знак ускорения противоположен знаку смещения.

Проводя аналогию между математическим и упругом маятниками, можно записать, что коэффициент жесткости, и период колебаний имеют следующий вид:

 и . (11.41)

Отсюда вытекает, что период колебаний математического маятника не зависит от амплитуды колебаний (для малых значений угла отклонений ) и массы маятника, а определяется его длиной и ускорением свободного падения тел в данном месте Земли.

Вращательное движение - это движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения. Система отсчета - совокупность системы координат и часов, связанных с телом отсчета. Траектория движения материальной точки - линия, описываемая этой точкой в пространстве. Длина участка траектории, пройденного материальной точкой с момента начала отсчета времени, называется длиной пути.
На главную